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2021年上海成人高考函數(shù)值域及求法講解(文科數(shù)學(xué))

上海成人高考網(wǎng) 發(fā)布時間:2021-05-19 17:29:10

   ●難點(diǎn)磁場


  (★★★★★)設(shè)m是實(shí)數(shù),記M={m|m>1},f(x)=log3(x2-4mx+4m2+m+ ).


  (1)證明:當(dāng)m∈M時,f(x)對所有實(shí)數(shù)都有意義;反之,若f(x)對所有實(shí)數(shù)x都有意義,則m∈M.


  (2)當(dāng)m∈M時,求函數(shù)f(x)的最小值.


  (3)求證:對每個m∈M,函數(shù)f(x)的最小值都不小于1.


  ●案例探究


  [例1]設(shè)計一幅宣傳畫,要求畫面面積為4840 cm2,畫面的寬與高的比為λ(λ<1),畫面的上、下各留8 cm的空白,左右各留5 cm空白,怎樣確定畫面的高與寬尺寸,才能使宣傳畫所用紙張面積最小?如果要求λ∈[ ],那么λ為何值時,能使宣傳畫所用紙張面積最小?


  命題意圖:本題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式和求函數(shù)最小值問題,同時考查運(yùn)用所學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力,屬★★★★★級題目.


  知識依托:主要依據(jù)函數(shù)概念、奇偶性和最小值等基礎(chǔ)知識.


  錯解分析:證明S(λ)在區(qū)間[ ]上的單調(diào)性容易出錯,其次不易把應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來解決.


  技巧與方法:本題屬于應(yīng)用問題,關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型,并把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來解決.


  解:設(shè)畫面高為x cm,寬為λx cm,則λx2=4840,設(shè)紙張面積為S cm2,則S=(x+16)(λx+10)=λx2+(16λ+10)x+160,將x= 代入上式得:S=5000+44 (8 + ),當(dāng)8 = ,即λ= <1)時S取得最小值.此時高:x= =88 cm,寬:λx= ×88=55 cm.


  如果λ∈[ ]可設(shè) ≤λ1<λ2≤ ,則由S的表達(dá)式得:


  又 ≥ ,故8- >0,


  ∴S(λ1)-S(λ2)<0,∴S(λ)在區(qū)間[ ]內(nèi)單調(diào)遞增.


  從而對于λ∈[ ],當(dāng)λ= 時,S(λ)取得最小值.


  答:畫面高為88 cm,寬為55 cm時,所用紙張面積最小.如果要求λ∈[ ],當(dāng)λ= 時,所用紙張面積最小.


  [例2]已知函數(shù)f(x)= ,x∈[1,+∞ (1)當(dāng)a= 時,求函數(shù)f(x)的最小值.


  (2)若對任意x∈[1,+∞ ,f(x)>0恒成立,試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.


  命題意圖:本題主要考查函數(shù)的最小值以及單調(diào)性問題,著重于學(xué)生的綜合分析能力以及運(yùn)算能力,屬★★★★級題目.


  知識依托:本題主要通過求f(x)的最值問題來求a的取值范圍,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想與分類討論的思想.


  錯解分析:考生不易考慮把求a的取值范圍的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來解決.


  技巧與方法:解法一運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想把f(x)>0轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的二次不等式;解法二運(yùn)用分類討論思想解得.


  (1)解:當(dāng)a= 時,f(x)=x+ +2


  ∵f(x)在區(qū)間[1,+∞ 上為增函數(shù),


  ∴f(x)在區(qū)間[1,+∞ 上的最小值為f(1)= .


  (2)解法一:在區(qū)間[1,+∞ 上,f(x)= >0恒成立 x2+2x+a>0恒成立.


  設(shè)y=x2+2x+a,x∈[1,+∞ ∵y=x2+2x+a=(x+1)2+a-1遞增,


  ∴當(dāng)x=1時,ymin=3+a,當(dāng)且僅當(dāng)ymin=3+a>0時,函數(shù)f(x)>0恒成立,故a>-3.


  解法二:f(x)=x+ +2,x∈[1,+∞ 當(dāng)a≥0時,函數(shù)f(x)的值恒為正;


  當(dāng)a<0時,函數(shù)f(x)遞增,故當(dāng)x=1時,f(x)min=3+a,


  當(dāng)且僅當(dāng)f(x)min=3+a>0時,函數(shù)f(x)>0恒成立,故a>-3.


  ●錦囊妙計


  本難點(diǎn)所涉及的問題及解決的方法主要有:


  (1)求函數(shù)的值域


  此類問題主要利用求函數(shù)值域的常用方法:配方法、分離變量法、單調(diào)性法、圖象法、換元法、不等式法等.無論用什么方法求函數(shù)的值域,都必須考慮函數(shù)的定義域.


  (2)函數(shù)的綜合性題目


  此類問題主要考查函數(shù)值域、單調(diào)性、奇偶性、反函數(shù)等一些基本知識相結(jié)合的題目.


  此類問題要求考生具備較高的數(shù)學(xué)思維能力和綜合分析能力以及較強(qiáng)的運(yùn)算能力.在今后的命題趨勢中綜合性題型仍會成為熱點(diǎn)和重點(diǎn),并可以逐漸加強(qiáng).


  (3)運(yùn)用函數(shù)的值域解決實(shí)際問題


  此類問題關(guān)鍵是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題,從而利用所學(xué)知識去解決.此類題要求考生具有較強(qiáng)的分析能力和數(shù)學(xué)建模能力.


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